SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Daftar isi

Soal dan Pembahasan Grafik Fungsi Trigonometri. Mengulas trik-trik atau cara praktis untuk menentukan sketsa grafik fungsi trigonometri serta untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu grafik fungsi trigonometeri. Grafik fungsi trigonometri yang akan kita bahas di sini adalah grafik fungsi sinus, grafik fungsi cosinus dan grafik fungsi tangen. Fungsi trigonometri adalah sebuah fungsi periodik. Periodik artinya berulang-ulang secara teratur. Karena periodik, berarti ada periode. Apa itu Periode? Periode bisa kita sebut sebagai siklus, yaitu pengulangan hal yang sama setelah suatu selang tertentu. Misalnya kurva

y = s i n x

akan membentuk siklus setiap selang

360^{\circ}

. Berarti

y = s i n x

memiliki periode sebesar

360^{\circ}

. Supaya lebih jelas, kita akan membahas satu per satu dengan metode praktis.

Grafik Fungsi Sinus

Sebelum kita lanjutkan membahas fungsi sinus, sebaiknya kita ketahui terlebih dahulu dasar fungsi sinus, yaitu

1. y = s i n x

(lihat gambar !).

2. y = s i n^{2} x

(lihat gambar!)

Secara umum fungsi sinus dirumuskan sebagai Berikut:

y = k s i n a (x \pm θ) + c

∙

Nilai maksimum fungsi

= | k | + c

∙

Nilai minimum fungsi

= - | k | + c

∙

Amplitudo

= | k |

∙

Periode

= \frac{360^{\circ}}{a}

∙

+ θ

→ fungsi

y = k s i n a x

digeser kekiri sejauh

θ

∙

- θ

→ fungsi

y = k s i n a x

digeser kekanan sejauh

θ

∙

+ C

→ fungsi

y = k s i n a (x \pm θ)

digeser keatas sejauh

C

∙

- C

→ fungsi

y = k s i n a (x \pm θ)

digeser kebawah sejauh

C

∙

y = - k s i n a (x \pm θ)

adalah cermin dari

y = k s i n a (x \pm θ)

terhadap sumbu

x

Grafik Fungsi Cosinus

Dasar dari fungsi kosinus yaitu,

1. y = c o s x

(lihat gambar!)

2. y = c o s^{2} x

(lihat gambar!)

Secara umum fungsi kosinus dirumuskan sebagai berikut:

y = k c o s a (x \pm θ) + c

∙

Nilai maksimum fungsi

= | k | + c

∙

Nilai minimum fungsi

= - | k | + c

∙

Amplitudo

= | k |

∙

Periode

= \frac{360^{\circ}}{a}

∙

+ θ

→ fungsi

y = k c o s a x

digeser kekiri sejauh

θ

∙

- θ

→ fungsi

y = k c o s a x

digeser kekanan sejauh

θ

∙

+ C

→ fungsi

y = k c o s a (x \pm θ)

digeser keatas sejauh

C

∙

- C

→ fungsi

y = k c o s a (x \pm θ)

digeser kebawah sejauh

C

∙

y = - k c o s a (x \pm θ)

adalah cermin dari

y = k c o s a (x \pm θ)

terhadap sumbu

x

Grafik Fungsi Tangen

Dasar dari fungsi tangen adalah

y = t a n x .

Perhatikan gambar!

Secara umum fungsi tangen dirumuskan sebagai berikut:

y = k t a n a (x \pm θ) + c

∙

Nilai maksimum fungsi

= \infty

∙

Nilai minimum fungsi

= - \infty

∙

Periode

= \frac{180^{\circ}}{a}

∙

+ θ

→ fungsi

y = k t a n a x

digeser kekiri sejauh

θ

∙

- θ

→ fungsi

y = k t a n a x

digeser kekanan sejauh

θ

∙

+ C

→ fungsi

y = k t a n a (x \pm θ)

digeser keatas sejauh

C

∙

- C

→ fungsi

y = k t a n a (x \pm θ)

digeser kebawah sejauh

C

∙

y = - k t a n a (x \pm θ)

adalah cermin dari

y = k t a n a (x \pm θ)

terhadap sumbu

x

Contoh soal 1.
Gambarlah grafik dari:

y = 2 s i n 2 x

y = 2 s i n 2 x

∙

y = s i n x

∙

= 2

= - 2

∙

\frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}

∙

y = s i n x

= 360^{\circ}

x

x = 0^{\circ}, x = 180^{\circ}

x = 360^{\circ}

y = s i n 2 x

= 180^{\circ}

x

x = 0^{\circ}, x = 90^{\circ}

x = 180^{\circ}

y = s i n x

∙

y = s i n x

x = 90^{\circ}

x = 270^{\circ}

y = s i n 2 x

x = 45^{\circ}

x = 135^{\circ}

Contoh soal 2.
Gambarlah grafik dari:

y = 2 s i n 3 (x - 30^{\circ})

∙

y = s i n x

y = 2 s i n 3 x .

∙

= 2

= - 2

∙

= \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}

∙

y = 2 s i n 3 (x - 30^{\circ})

y = 2 s i n 3 x

30^{\circ}

∙

y = 2 s i n 3 x

x

x = 0^{\circ}, x = 60^{\circ}, d a n x = 120^{\circ}

y = s i n x

30^{\circ}

x

x = 30^{\circ}, x = 90^{\circ}, d a n x = 150^{\circ}

∙

y = 2 s i n 3 x

x = 30^{\circ}

x = 90^{\circ}

y = 2 s i n 3 (x - 30^{\circ})

x = 60^{\circ}

x = 120^{\circ}

Contoh soal 3.
Gambarlah grafik dari:

y = - 2 c o s 3 x

∙

y = c o s x

y = 2 c o s 3 x

∙

= | - 2 | = 2

= - | - 2 | = - 2

∙

= \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}

∙

y = c o s x

= 360^{\circ}

x

x = 90^{\circ} d a n x = 270^{\circ}

∙

y = 2 c o s 3 x

120^{\circ}

x

30^{\circ} d a n 90^{\circ}

y = c o s x

∙

y = - 2 c o s 3 x

y = 2 c o s 3 x

x

∙

y = 2 c o s 3 x

x = 0^{\circ} d a n x = 120^{\circ}

x = 60^{\circ}

∙

y = - 2 c o s 3 x

x = 0^{\circ} d a n x = 120^{\circ}

x = 60^{\circ}

Contoh soal 4.
Gambarlah grafik dari:

y = 2 c o s (2 x + 90^{\circ})

y = 2 c o s (2 x + 90^{\circ})

y = 2 c o s 2 (x + 45^{\circ})

∙

y = c o s x

y = 2 c o s 2 x

∙

= 2

= - 2

∙

= \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}

∙

y = 2 c o s 2 (x + 45)

y = 2 c o s 2 x

45^{\circ}

∙

y = 2 c o s 2 x

180^{\circ}

x

x = 45^{\circ} d a n x = 135^{\circ}

∙

45^{\circ}

x

0^{\circ}

90^{\circ}

180^{\circ}

∙

y = 2 c o s 2 x

x = 0^{\circ} d a n x = 180^{\circ}

x = 90^{\circ}

∙

y = 2 c o s 2 (x + 45)

x = 135^{\circ}

x = 45^{\circ}

Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan Pembahasan

Dengan Metode Praktis

1

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = 3 s i n 2 x

adalah . . . .

A . - 2 d a n - 5

B . 2 d a n - 3

C . - 3 d a n - 5

D . 3 d a n - 3

E . 5 d a n - 3

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 3 s i n 2 x

N i l a i m a k s i m u m = | 3 | = 3

N i l a i m i n i m u m = - | 3 | = - 3

2

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = - 4 s i n 3 (x - 60^{o})

adalah . . . .

A . - 3 d a n - 4

B . 3 d a n - 3

C . - 4 d a n - 5

D . 4 d a n - 4

E . 7 d a n - 4

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = - 4 s i n 3 (x - 60^{o})

N i l a i m a k s i m u m = | - 4 | = 4

N i l a i m i n i m u m = - | - 4 | = - 4

3.

Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = 5 c o s 3 x

adalah . . . .

A . 3 d a n - 3

B . 4 d a n - 5

C . 5 d a n - 5

D . 6 d a n - 3

E . 7 d a n 5

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 5 c o s 3 x

N i l a i m a k s i m u m = 5

N i l a i m i n i m u m = - 5

4.

Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = - 3 c o s 2 (x + 30^{o})

adalah . . . .

A . - 2 d a n - 3

B . 2 d a n - 2

C . - 3 d a n - 5

D . 3 d a n - 3

E . 5 d a n - 5

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = - 3 c o s 2 (x + 30^{o})

N i l a i m a k s i m u m = | - 3 | = 3

N i l a i m i n i m u m = - | - 3 | = - 3

5

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = 3 s i n^{2} 3 x

adalah . . . .

A . 1 d a n - 1

B . 2 d a n - 2

C . 3 d a n 0

D . 4 d a n - 2

E . 5 d a n - 1

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 3 s i n^{2} 3 x

N i l a i m a k s i m u m = 3

N i l a i m i n i m u m = 0

y = k s i n^{2} a x

N i l a i m a k s i m u m = k

N i l a i m i n i m u m = 0

6

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = - 5 s i n^{2} 2 x

adalah . . . .

A . - 5 d a n - 7

B . 0 d a n - 5

C . - 3 d a n - 5

D . 3 d a n - 3

E . 5 d a n - 5

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = - 5 s i n^{2} 2 x

N i l a i m a k s i m u m = 0

N i l a i m i n i m u m = - 5

y = - k s i n^{2} a x

N i l a i m a k s i m u m = 0

N i l a i m i n i m u m = - k

7

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = 2 s i n 3 x + 3

adalah . . . .

A . - 2 d a n 0

B . 0 d a n - 2

C . 2 d a n 0

D . 3 d a n - 1

E . 5 d a n 1

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 2 s i n 3 x + 3

N i l a i m a k s i m u m = | 2 | + 3 = 5

N i l a i m i n i m u m = - | 2 | + 3 = 1

8

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = - 3 s i n (2 x - 60^{o}) - 5

adalah . . . .

A . - 3 d a n - 5

B . - 2 d a n - 8

C . 0 d a n - 5

D . 2 d a n - 3

E . 3 d a n - 7

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = - 3 s i n (2 x - 60^{o}) - 5

N i l a i m a k s i m u m = | - 3 | - 5

= 3 - 5 = - 2

N i l a i m i n i m u m = - | - 3 | - 5

= - 3 - 5 = - 8

9

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = - 4 c o s 3 (x + 30^{o}) + 2

adalah . . . .

A . - 4 d a n - 2

B . - 2 d a n 0

C . 2 d a n - 2

D . 4 d a n 1

E . 6 d a n - 2

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = - 4 c o s 3 (x + 30^{o}) + 2

N i l a i m a k s i m u m = | - 4 | + 2

= 4 + 2 = 6

N i l a i m i n i m u m = - | - 4 | + 2

= - 4 + 2 = - 2

10

. Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi

y = 3 - 2 c o s^{2} 2 x

adalah . . . .

A . - 2 d a n - 3

B . 0 d a n - 2

C . 2 d a n 0

D . 3 d a n 1

E . 5 d a n 3

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 3 - 2 c o s^{2} 2 x

y = - 2 c o s^{2} 2 x + 3

N i l a i m a k s i m u m = 0 + 3 = 3

N i l a i m i n i m u m = - 2 + 3 = 1

y = - k c o s^{2} a x

N i l a i m a k s i m u m = 0

N i l a i m i n i m u m = - k

y = k c o s^{2} 2 x

N i l a i m a k s i m u m = k

N i l a i m i n i m u m = 0

11

. Jika

0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}

, maka fungsi

y = s i n (x - 30^{\circ})

akan maksimum pada

x =

. . . .

A . 60^{\circ}

B . 90^{\circ}

C . 120^{\circ}

D . 150^{\circ}

E . 180^{\circ}

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = s i n (x - 30^{\circ})

y = s i n x

x = 90^{\circ}

y = s i n (x - 30^{\circ})

y = s i n x

30^{\circ}

y = s i n (x - 30^{\circ})

x = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}

12

. Jika

0^{\circ} \leq x \leq 120^{\circ}

, maka fungsi

y = 2 s i n 3 x

akan maksimum pada

x =

. . . .

A . 0^{\circ}

B . 15^{\circ}

C . 30^{\circ}

D . 45^{\circ}

E . 90^{\circ}

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 2 s i n 3 x

y = s i n x

x = 90^{\circ}

y = 2 s i n 3 x

x = 30^{\circ}

13

. Jika

0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}

, maka fungsi

y = - 3 c o s 2 x

akan minimum pada

x =

. . . .

A . 0^{\circ} d a n 180^{\circ}

B . 30^{\circ} d a n 120^{\circ}

C . 45^{\circ} d a n 135^{\circ}

D . 60^{\circ} d a n 150^{\circ}

E . 90^{\circ} d a n 180^{\circ}

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = - 3 c o s 2 x

y = c o s x

x = 180^{\circ}

x = 0^{\circ} d a n x = 360^{\circ}

y = - c o s x

y = c o s x

x

y = - c o s x

x = 180^{\circ}

x = 0^{\circ} d a n x = 360^{\circ}

y = - 3 c o s 2 x

x = 90^{\circ}

x = 0^{\circ}

x = 180^{\circ}

14

. Jika

0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}

, maka fungsi

y = 3 s i n (2 x - 30^{\circ})

mempunyai titik maksimum di titik . . . .

A . (30^{\circ}, 3)

B . (45^{\circ}, 3)

C . (60^{\circ}, 3)

D . (75^{\circ}, 3)

E . (90^{\circ}, 3)

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 3 s i n (2 x - 30^{\circ})

y = 3 s i n 2 (x - 15^{\circ})

y = s i n x

x = 90^{\circ}

y = s i n 2 x

x = 45^{\circ}

y = 3 s i n 2 (x - 15^{\circ})

y = s i n 2 x

15^{\circ}

y = 3 s i n 2 (x - 15^{\circ})

x = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}

15

. Jika

0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}

, maka fungsi

y = 2 c o s (2 x + 60^{\circ}) - 1

mempunyai titik minimum di titik . . . .

A . (30^{\circ}, - 3)

B . (45^{\circ}, - 3)

C . (60^{\circ}, - 3)

D . (75^{\circ}, - 3)

E . (90^{\circ}, - 3)

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 2 c o s (2 x + 60^{\circ}) - 1

y = 2 c o s 2 (x + 30^{\circ}) - 1

= - | 2 | - 1 = - 3

y = - 3

y = 2 c o s 2 x

x = 90^{\circ}

y = 2 c o s 2 (x + 30^{\circ}) - 1

y = 2 c o s 2 x

30^{\circ}

y = 2 c o s 2 (x + 30^{\circ}) - 1

x = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}

16

. Jika

0^{\circ} \leq x \leq 120^{\circ}

, maka fungsi

y = - 2 c o s (3 x - 60^{\circ}) + 2

mempunyai titik minimum di titik . . . .

A . (40^{\circ}, - 2)

B . (20^{\circ}, 0)

C . (40^{\circ}, 0)

D . (90^{\circ}, - 2)

E . (120^{\circ}, 0)

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = - 2 c o s (3 x - 60^{\circ}) + 2

y = - 2 c o s 3 (x - 20^{\circ}) + 2

= - | - 2 | + 2 = - 2 + 2 = 0

y = - 2 c o s 3 x

x = 0^{\circ} d a n x = 120^{\circ}

y = - 2 c o s 3 (x - 20^{\circ}) + 2

y = - 2 c o s 3 x

20^{\circ}

y = - 2 c o s 3 (x - 20^{\circ}) + 2

x = 20^{\circ} d a n x = 140^{\circ}

(20^{\circ}, 0) d a n (140^{\circ}, 0)

17

. Nilai minimum dari fungsi

y = 2 + c o s^{2} 3 x

dicapai pada

x =

. . . .

A . (30^{\circ})

B . (45^{\circ})

C . (60^{\circ})

D . (75^{\circ})

E . (90^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 2 + c o s^{2} 3 x

y = c o s^{2} x

x = 90^{\circ} d a n x = 270^{\circ}

y = c o s^{2} 3 x

x = 30^{\circ} d a n x = 90^{\circ}

18

. Periode dari fungsi

y = 2 s i n (3 x - 30^{\circ})

adalah . . . .

A . (90^{\circ})

B . (120^{\circ})

C . (150^{\circ})

D . (180^{\circ})

E . (360^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}

19

. Periode dari fungsi

y = - 2 c o s 2 x

adalah . . . .

A . (90^{\circ})

B . (120^{\circ})

C . (150^{\circ})

D . (180^{\circ})

E . (360^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}

20

. Periode dari fungsi

y = - 3 s i n 4 (x + 20^{\circ})

adalah . . . .

A . (90^{\circ})

B . (120^{\circ})

C . (150^{\circ})

D . (180^{\circ})

E . (360^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}

21

. Periode dari fungsi

y = 5 c o s (6 x - 30^{\circ})

adalah . . . .

A . (30^{\circ})

B . (60^{\circ})

C . (90^{\circ})

D . (120^{\circ})

E . (180^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = 5 c o s (6 x - 30^{\circ})

y = 5 c o s 6 (x - 5^{\circ})

P e r i o d e = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}

22

. Fungsi

y = 2 s i n 3 x

akan bernilai nol jika

x =

. . . .

A . (30^{\circ})

B . (45^{\circ})

C . (60^{\circ})

D . (90^{\circ})

E . (105^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

y = s i n x

x = 0^{\circ}

x = 180^{\circ}

x = 360^{\circ}

y = 2 s i n 3 x

x = 0^{\circ}

x = 60^{\circ}

x = 120^{\circ}

23

. Persamaan dari grafik fungsi di bawah adalah . . . .

A . y = - 2 s i n 2 x

B . y = 2 c o s x

C . y = 2 s i n 2 (x - 30^{\circ})

D . y = - 2 c o s 2 x

E . y = 2 s i n 2 x

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = 180^{\circ}

A m p l i t u d o = 2

y = s i n 2 x

x

y = - 2 s i n 2 x

24

. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . .

A . y = s i n x

B . y = c o s (x - 30^{\circ})

C . y = s i n (x - 30^{\circ})

D . y = c o s (x + 30^{\circ})

E . y = s i n (x + 30^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = 360^{\circ}

A m p l i t u d o = 1

y = s i n x

30^{\circ}

y = s i n (x - 30^{\circ})

25

. Persamaan dari grafik dibawah adalah . . . .

A . y = 2 s i n 2 (x - 30^{\circ})

B . y = 2 c o s 2 (x - 30^{\circ})

C . y = - 2 c o s 2 (x - 30^{\circ})

D . y = - 2 s i n 2 (x - 30^{\circ})

E . y = - 2 c o s (2 x - 30^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = 180^{\circ}

A m p l i t u d o = 2

y = - 2 c o s 2 x

30^{\circ}

y = - 2 c o s 2 (x - 30^{\circ})

26

. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . .

A . y = 2 c o s (\frac{π}{2} + x)

B . y = 2 c o s (\frac{π}{2} - x)

C . y = 2 s i n (\frac{π}{2} + x)

D . y = 2 s i n (\frac{π}{2} - 2 x)

E . y = 2 s i n (\frac{π}{2} + 2 x)

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = 360^{\circ}

A m p l i t u d o = 2

y = c o s x

y = k c o s x

y = k s i n x

90^{\circ}

y = 2 c o s x \Leftrightarrow y = 2 s i n (x + \frac{π}{2})

27

. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . .

A . y = 2 s i n x

B . y = - 2 s i n 2 x

C . y = 2 s i n (\frac{π}{2} + 2 x)

D . y = - 2 c o s (\frac{π}{2} + 2 x)

E . y = 2 c o s (\frac{π}{2} + 2 x)

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = 180^{\circ}

A m p l i t u d o = 2

y = 2 s i n 2 x

y = 2 s i n 2 x

y = 2 c o s 2 x

\frac{π}{4}

y = 2 s i n 2 x \Leftrightarrow y = 2 c o s 2 (x - \frac{π}{4})

y = 2 s i n 2 x

y = - 2 c o s 2 x

\frac{π}{4}

y = 2 s i n 2 x \Leftrightarrow y = - 2 c o s 2 (x + \frac{π}{4})

\Leftrightarrow y = - 2 c o s (2 x + \frac{π}{2})

28. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . .

A . y = t a n 2 x

B . y = 2 t a n 2 x

C . y = t a n \frac{1}{2} x

D . y = - 2 t a n x

E . y = 2 t a n x

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = 90^{\circ}

y = k t a n 2 x

x = 22, 5^{\circ}

y = 2

y = k t a n 2 x

k = 2

y = 2 t a n 2 x

29

. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . .

A . y = s i n 2 (x - 30^{\circ}) + 1

B . y = s i n (2 x - 30^{\circ}) + 1

C . y = c o s 2 (x - 30^{\circ}) + 1

D . y = c o s (2 x - 30^{\circ}) + 1

E . y = 2 s i n 2 (x + 30^{\circ}) + 1

[Grafik Fungsi Trigonometri]

P e r i o d e = 180^{\circ}

A m p l i t u d o = 1

y = s i n 2 x

30^{\circ}

1

y = s i n 2 (x - 30^{\circ}) + 1

30

. Persamaan dari grafik di bawah adalah . . . .

A . y = c o s (2 x - 60^{\circ})

B . y = s i n (2 x - 60^{\circ})

C . y = c o s (2 x - 60^{\circ})

D . y = s i n (2 x - 60^{\circ})

E . y = c o s 2 (x - 60^{\circ})

[Grafik Fungsi Trigonometri]

Cari Blog Ini

Senengnya masuk sekolah SMAN 63 Jakarta